Свойства проекций на главные компоненты

Метод главных компонент (principal component analysis, PCA) порождает новые признаки $\boldsymbol{z}\in\mathbb{R}^K$, отвечающие проекциям объекта $\boldsymbol{x}$ на первые $K$ главных компонент. Докажем, что полученные признаки обладают следующими свойствами:

• обладают нулевым средним;

• нескореллированы друг с другом;

• обладают свойством линейной независимости.

Утверждение: центрированность проекций

Если исходные данные $\{\boldsymbol{x}_n\}_{n=1}^N$ были центрированы ($\mathbb{E}[\boldsymbol{x}] = \boldsymbol{0}$), то математическое ожидание проекции данных на любую главную компоненту также равно нулю.

Доказательство:

Пусть $\boldsymbol{x}$ — случайный вектор исходных признаков. Рассмотрим значение $i$-го нового признака (проекции) $z^i$, которое вычисляется как скалярное произведение вектора объекта на $i$-ю главную компоненту $\boldsymbol{v}_i$:

$$z^i = \boldsymbol{v}_i^T \boldsymbol{x}$$

Вычислим математическое ожидание полученной величины и воспользуемся линейностью математического ожидания:

$$\mathbb{E}[z^i] = \mathbb{E}[\boldsymbol{v}_i^T \boldsymbol{x}]=\boldsymbol{v}_i^T \mathbb{E}[\boldsymbol{x}]= \boldsymbol{v}_i^T \cdot \boldsymbol{0} = 0$$

Утверждение: нескоррелированность проекций

Проекции данных на различные главные компоненты нескоррелированы друг с другом.

Доказательство:

Пусть $z_i$ и $z_j$ — значения новых признаков (проекций) для центрированных данных. Воспользуемся линейностью мат. ожидания, а также свойством $\boldsymbol{v}_j^T(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})=(\boldsymbol{v}_j^T(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}))^T$, справедливым для любого скаляра. Тогда ковариацию $z_i$ и $z_j$ можно выразить следующим образом:

$$\begin{aligned} \text{cov}(z_i, z_j) &= \mathbb{E}[(\boldsymbol{v}_i^T(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}))(\boldsymbol{v}_j^T(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}))] \\ &= \mathbb{E}[(\boldsymbol{v}_i^T(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}))(\boldsymbol{v}_j^T(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}))^T] \\ &= \mathbb{E}[(\boldsymbol{v}_i^T(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}))(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{v}_j] \\ &= \boldsymbol{v}_i^T \Sigma \boldsymbol{v}_j = \boldsymbol{v}_i^T \lambda_j \boldsymbol{v}_j = \lambda_j (\boldsymbol{v}_i^T \boldsymbol{v}_j) \end{aligned}$$

Так как собственные векторы симметричной матрицы ортогональны, $\boldsymbol{v}_i^T \boldsymbol{v}_j = 0$, то ковариация, а, следовательно, и корреляция равна 0.

$\square$

Утверждение: линейная независимость проекций

Векторы новых признаков $\{\boldsymbol{z}_k\}_{k=1}^D$ линейно независимы, если все собственные числа $\lambda_i > 0$, $i=1,2,...D$.

Доказательство:

Пусть $Z$ — матрица проекций размера $N \times D$, где элемент $Z_{nk}$ — проекция $n$-го объекта на $k$-ю главную компоненту. Рассмотрим матрицу $G = \frac{1}{N} Z^T Z$. Её элементы вычисляются как:

$$G_{ij} = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N Z_{ni} Z_{nj} = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N (\boldsymbol{v}_i^T (\boldsymbol{x}_n - \boldsymbol{\mu})) ((\boldsymbol{x}_n - \boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{v}_j)$$

Вынося векторы за знак суммы:

$$G_{ij} = \boldsymbol{v}_i^T \left( \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N (\boldsymbol{x}_n - \boldsymbol{\mu}) (\boldsymbol{x}_n - \boldsymbol{\mu})^T \right) \boldsymbol{v}_j = \boldsymbol{v}_i^T \Sigma \boldsymbol{v}_j$$

Как было доказано выше, $G_{ij} = \lambda_i \mathbb{I}\{i=j\}$. Таким образом, $G$ — диагональная матрица:

$$\frac{1}{N} Z^T Z = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_D \end{pmatrix}$$

Если все $\lambda_k > 0$, то $\text{det}(\frac{1}{N} Z^T Z) = \prod \lambda_k \neq 0$, следовательно, матрица $Z^T Z$ имеет полный ранг $D$. Согласно свойству, что ранг произведения не превосходит ранг каждого из сомножителей [1], получаем, что $\text{rank}(Z)\ge \text{rank}(Z^T Z)=D$. Поскольку у $Z$ всего $D$ столбцов, то $\text{rank}(Z) = D$, и эти столбцы (отвечающие проекциям объектов на каждую компоненту) линейно независимы.

$\square$

Литература

1. Википедия: ранг матрицы.