Метод наивного Байеса

Метод наивного Байеса применим только для классификации и представляет собой генеративную модель (generative model), то есть модель, в которой моделируется не только $p(y|\mathbf{x})$ (эти модели называются дискриминативными, discriminative model), но и совместное распределение признаков и откликов $p(\mathbf{x},y)$.

$$p\left(y|\mathbf{x}\right)=\frac{p(\mathbf{x},y)}{p(\mathbf{x})}=\frac{p\left(y\right)p\left(\mathbf{x}|y\right)}{p\left(\mathbf{x}\right)},$$

причём для простоты оценки условной вероятности дополнительно используется предположение наивного Байеса (naive Bayes assumption): вероятность $p\left(\mathbf{x}|y\right)$ факторизуется в произведение вероятностей для каждого признака (обозначаемого верхним индексом):

$$p(\mathbf{x}|y) = p\left(x^{1}|y\right)p\left(x^{2}|y\right)...p\left(x^{D}|y\right)$$

Например, в задаче классификации писем на полезные и спам по встречаемости разных слов в письме это предположение означает, что при условии класса письма (полезное или спам) встречаемости слов независимы друг от друга.

Сделав это предположение, получаем итоговый вид модели наивного Байеса:

$$p\left(y|\mathbf{x}\right)=\frac{p\left(y\right)p\left(\mathbf{x}|y\right)}{p\left(\mathbf{x}\right)}\propto p\left(y\right)p\left(\mathbf{x}|y\right)=p\left(y\right)p\left(x^{1}|y\right)p\left(x^{2}|y\right)...p\left(x^{D}|y\right),$$

где $\propto$ обозначает "пропорционально с точностью до общей константы", которая не влияет на итоговый прогноз. Если общее число признаков $D$ невелико, то метод наивного Байеса интерпретируем, поскольку вклад каждого признака вносится мультипликативно, и для аномально высокой и низкой вероятности можно отследить, из-за каких признаков и соответствующих слагаемых $p\left(x^{i}|y\right)$ мы получили именно такой прогноз. Отсортировав признаки по этой величине, можно выделить признаки, сильнее всего сдвигающие прогноз в пользу принятия или отказа от заданного класса.