Простая агрегация в ансамблях

При борьбе с переобучением (overfitting) базовых моделей $f_1(\mathbf{x}),...f_M(\mathbf{x})$ используются простые агрегирующие функции $G(\cdot)$ . Рассмотрим основные типы таких агрегаций для задач регрессии и классификации.

Регрессия

При решении задачи регрессии прогнозы базовых алгоритмов можно усреднять:

\widehat{y}(\mathbf{x})=\frac{1}{M}\sum_{m=1}^{M}f_{m}(\mathbf{x})

Как вариант, среднее можно заменить на вычисление медианы прогнозов. Это имеет смысл при наличии выбросов в данных и использовании неустойчивых к выбросам моделей. Тогда, даже если одна из моделей выдаст аномально низкий или высокий прогноз, это не сильно изменит итоговый прогноз ансамбля.

Другим и гораздо более популярным вариантом усреднения является взвешенное среднее:

\widehat{y}(\mathbf{x})=\frac{\sum_{m=1}^{M}w_{m}f_{m}(\mathbf{x})}{\sum_{m=1}^{M}w_{m}}

Взвешенное среднее лучше, когда базовые модели сильно различаются по точности. В этом случае целесообразно задать больший вес более точной модели.

Усложнение взвешенного усреднения

При взвешенном усреднении веса могут быть не фиксированными константами, а функциями, зависящими от вектора признаков:

\widehat{y}(\mathbf{x})=\frac{\sum_{m=1}^{M}w_{m}(\mathbf{x})\cdot f_{m}(\mathbf{x})}{\sum_{m=1}^{M}w_{m}(\mathbf{x})}

Например, веса могут считаться как SoftMax преобразование от линейных функций от признаков. В этом случае разные модели будут более предпочтительными в разных участках признакового пространства. Этот подход называется смесь экспертов (mixture of experts [1]).

Классификация

При агрегации прогнозов классификаторов необходимо различать три случая, когда классификаторы выдают:

вероятности классов,
метки классов
рейтинги классов (дискриминантные функции).

Рассмотрим агрегирование прогнозов для каждого из этих случаев.

Классификаторы выдают вероятности классов

В этом случае каждый классификатор выдаст вектор вероятностей классов, которые мы можем усреднить, чтобы получить итоговое распределение классов.

Вероятность класса $c$ в этом случае будет средним по предсказанным вероятностям этого класса для всех классификаторов:

p_{c}(\mathbf{x})=\frac{1}{M}\sum_{m=1}^{M}p_{c}^{m}(\mathbf{x}), \quad c=1,2,...C

Аналогично регрессии, равномерное усреднение можно заменить взвешенным.

Классификаторы выдают метки классов

В этом случае в качестве агрегирующей функции можно взять голосование по большинству (majority vote), то есть назначать тот класс, за который проголосовало большинство базовых классификаторов.

Если классификаторы неравнозначны между собой (за счёт сильных различий в точности), то лучше использовать взвешенное голосование, при котором голоса более точных классификаторов учитываются с большим весом.

Бинарная классификация

Когда классов всего два, то можно предсказывать положительный класс, когда этот класс предсказывают

все базовые классификаторы (правило AND),
хотя бы один из классификаторов (правило OR),
по крайней мере K классификаторов (правило K-out-of-N).

Последнее правило обобщает стратегии AND и OR при K=N и K=1 соответственно. Правило OR используется при обнаружении аномалий отдельными классификаторами: если хотя бы один базовый классификатор увидел что-то необычное в объекте, то он считается аномалией.

Классификаторы выдают рейтинги

Как мы знаем, каждый классификатор внутри себя рассчитывает рейтинги классов при построении прогноза. Соответственно, можно извлекать не окончательные метки, а вектора рейтингов классов $\mathbf{g}^1(\mathbf{x}),...\mathbf{g}^M(\mathbf{x})\in\mathbb{R}^C$ для соответствующих базовых классификаторов $f_1(\mathbf{x}),...f_M(\mathbf{x})$ , после чего их усреднять:

\mathbf{g}=\frac{1}{M}\sum_{m=1}^{M}\mathbf{g}^m \in \mathbb{R}^C,

получая вектор рейтингов для ансамбля:

\mathbf{g}=[g_1,...g_C]^T

Далее, как обычно, прогнозируется класс, обладающий максимальным рейтингом:

\hat{y}(\mathbf{x})=\arg\max_c g_c(\mathbf{x})

Ограничения подхода

Этот подход работает только для классификаторов из одного семейства, у которых рейтинги изменяются в одной шкале! Для моделей разных типов так делать нельзя, поскольку тогда ранжирование будет доминироваться классификатором с рейтингами, принимающими максимально широкий диапазон значений.

Корректировка для классификаторов разных типов

В общем случае классификаторы разных типов выдают рейтинги в разном диапазоне, поэтому усреднять их нельзя, как показано в примере ниже:

	$g_1(\mathbf{x})$	$g_2(\mathbf{x})$	$g_3(\mathbf{x})$	$g_4(\mathbf{x})$
$f_1(\mathbf{x})$	100	70	34	-25
$f_2(\mathbf{x})$	15	0	-14	-10
$f_3(\mathbf{x})$	0.05	0.6	0.2	0.15

Рейтинги первой модели имеют максимальный разброс значений, поэтому при усреднении в основном определять прогноз будут именно они! Чтобы такого не происходило, перед усреднением рейтингов их необходимо привести к единой шкале.

Для этого применяется ранговое преобразование, в котором новый рейтинг класса считается как количество других классов, которые рассматриваемый класс доминирует по рейтингу (принимая более высокое значение дискриминантной функции). Преобразованный рейтинги называется Borda counts [2].

В примере выше модели ранжируют классы следующим образом:

модель	ранжирование классов
$f_1(\mathbf{x})$	$1 \succ 2 \succ 3 \succ 4$
$f_2(\mathbf{x})$	$1 \succ 2 \succ 4 \succ 3$
$f_3(\mathbf{x})$	$2 \succ 3 \succ 4 \succ 1$

Преобразованные рейтинги будут:

	$g_1'(\mathbf{x})$	$g_2'(\mathbf{x})$	$g_3'(\mathbf{x})$	$g_4'(\mathbf{x})$
$f_1(\mathbf{x})$	3	2	1	0
$f_2(\mathbf{x})$	3	2	0	1
$f_3(\mathbf{x})$	0	3	2	1

Они принадлежат уже одинаковой шкале значений $\{0,1,2,3\}$ , поэтому их можно усреднять. В результате усреднения получим следующие рейтинги для ансамбля:

$g_1''(\mathbf{x})$	$g_2''(\mathbf{x})$	$g_3''(\mathbf{x})$	$g_4''(\mathbf{x})$
6/3	7/3	3/3	2/3

Далее, как обычно, назначается класс с максимальным средним рейтингом. Это будет класс 2.

Заметим, что прогноз отличается от прогноза голосованием по большинству, когда был назначен класс 1. Класс 2 победил новым способом, поскольку класс 2 считается вероятным всеми тремя классификаторами, а класс 1 считается самым маловероятным третьей моделью $f_3(\mathbf{x})$ .

Учёт классификаторов с разной степенью

Как и раньше, если классификаторы сильно различаются по точности, их рейтинги можно усреднять не равномерно, а с весами, назначая более высокий вес более точным классификаторам.

Пример запуска в Python

Усредняющий ансамбль для классификации:

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.ensemble import VotingClassifier
from sklearn.metrics import accuracy_score
from sklearn.metrics import brier_score_loss

X_train, X_test, Y_train, Y_test = get_demo_classification_data()

# Инициализируем базовые модели и проверим их качество
log_model = LogisticRegression()   # инициализация модели
log_model.fit(X_train, Y_train)    # обучение модели   
Y_hat = log_model.predict(X_test)  # построение прогнозов
print(f'Точность LogisticRegression: {100*accuracy_score(Y_test, Y_hat):.1f}%')  

tree_model = DecisionTreeClassifier()  # инициализация дерева
tree_model.fit(X_train, Y_train)       # обучение модели   
Y_hat = tree_model.predict(X_test)     # построение прогнозов
print(f'Точность DecisionTree: {100*accuracy_score(Y_test, Y_hat):.1f}%')  

# Инициализируем ансамбль, усредняющий метки классов
ensemble = VotingClassifier(estimators=[('logistic regression', log_model), 
                                        ('decision tree', tree_model)], 
                            voting='hard',      # усредняем метки классов
                            weights=[0.5,0.5])  # веса учёта базовых моделей
ensemble.fit(X_train, Y_train)     # обучение базовых моделей ансамбля
Y_hat = ensemble.predict(X_test)   # построение прогнозов
print(f'Точность VotingClassifier: {100*accuracy_score(Y_test, Y_hat):.1f}%')  

# Инициализируем ансамбль, усредняющий вероятности классов
ensemble = VotingClassifier(estimators=[('logistic regression', log_model), 
                                        ('decision tree', tree_model)], 
                            voting='soft',      # усредняем вероятности классов
                            weights=[0.5,0.5])  # веса учёта базовых моделей
ensemble.fit(X_train, Y_train)     # обучение базовых моделей ансамбля
Y_hat = ensemble.predict(X_test)   # построение прогнозов
print(f'Точность VotingClassifier: {100*accuracy_score(Y_test, Y_hat):.1f}%')  

P_hat = ensemble.predict_proba(X_test)  # можно предсказывать вероятности классов
loss = brier_score_loss(Y_test, P_hat[:,1])  # мера Бриера на вероятности положительного класса
print(f'Мера Бриера ошибки прогноза вероятностей: {loss:.2f}')

Больше информации. Полный код.

Усредняющий ансамбль для регрессии:

from sklearn.neighbors import KNeighborsRegressor
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn.ensemble import VotingRegressor
from sklearn.metrics import mean_absolute_error

X_train, X_test, Y_train, Y_test = get_demo_classification_data()

# Инициализируем базовые модели и проверим их качество
knn = KNeighborsRegressor(n_neighbors=100)    # инициализация модели
log_model.fit(X_train, Y_train)     # обучение модели   
Y_hat = log_model.predict(X_test)   # построение прогнозов
print(f'Средний модуль ошибки (MAE): {mean_absolute_error(Y_test, Y_hat):.2f}')   

tree_model = DecisionTreeRegressor() # инициализация дерева
tree_model.fit(X_train, Y_train)     # обучение модели   
Y_hat = tree_model.predict(X_test)   # построение прогнозов
print(f'Средний модуль ошибки (MAE): {mean_absolute_error(Y_test, Y_hat):.2f}')    

# Инициализируем усредняющий ансамбль
ensemble = VotingRegressor(estimators=[('K nearest neighbours', knn), 
                                       ('decision tree', tree_model)], 
                           weights=[0.5,0.5])  # веса учёта базовых моделей
ensemble.fit(X_train, Y_train)     # обучение базовых моделей ансамбля
Y_hat = ensemble.predict(X_test)   # построение прогнозов
print(f'Средний модуль ошибки (MAE): {mean_absolute_error(Y_test, Y_hat):.2f}')     

Больше информации. Полный код.

Также с примером работы усредняющего классификатора можно ознакомиться в [3].

Более подробно работа простых ансамблей описана в [4].

Простая агрегация в ансамблях

Регрессия​

Классификация​

Классификаторы выдают вероятности классов​

Классификаторы выдают метки классов​

Бинарная классификация​

Классификаторы выдают рейтинги​

Корректировка для классификаторов разных типов​

Пример запуска в Python​

Литература​